Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր

1. Գումարի և տարբերության քառակուսին

1. (a+b)2=a2+2ab+b2  կամ   a2+2ab+b2=(a+b)2

2. (a-b)2=a2-2ab+b2  կամ   a2-2ab+b2=(a-b)2

Առաջադրանքներ

1) Բարձրացրեք քառակուսի.

1. (m+x)2=m²+2mx+x²

2. (4-y)2=16-8y+y²

3. (2x+7)2=4x²+28x+49

4. (z3 +t)2=z⁶+2z³t+t²

5. (4x-9y)2=16x²-72xy+81y²

6. (a7-3b4)2=a¹⁴-6a⁷b⁴+9b⁸

2)  Հաշվեք՝ կիրառելով գումարի քառակուսու բանաձևը.

Oրինակ՝

512=(50+1)2=502+2501+12=2601:

ա) 512 =2601      գ) 392=(30+9)²=900+540+81=1521

բ) 1082=(100+8)²=10000+1600+64=11664      դ) 722=(70+2)²=4900+280+4=5184

Լրացուցիչ առաջադրանք

3) Բարձրացրեք քառակուսի.

1.  (a3+b2)2=a⁶+2a³b²+b⁴

2. (b+ab3)2=b²+2ab³+a²b⁶

3. (y+12)2=y²+24y+144

4. (x5-y8)2=x¹⁰-2x⁵y⁸+y¹⁶

5. (0,1a+4b)2=0.01a²+8.1ab+16y²

6. (a2b-9)2=a⁴b²-18a²b+81

7. (17k+5p)2=289k²+170kp+25p²

8. (b4x-b)2=b⁸x²-2b⁵x+b²

2. Քառակուսիների տարբերությունը

       3. a2-b2=(a-b)(a+b)կամ (a-b)(a+b)=a2-b2

Բանաձևը հաճախ օգտագործում են հաշվարկների պարզեցման համար

4139=(40+1)(40-1)=402–12=1600-1=1599:

Առաջադրանքներ

1) Արտահայտությունը ներկայացրեք բազմանդամի տեսքով.

ա) (a+n)(a-n)=a²-n²

բ) (12-x)(x+12)=144-x²

գ) (7+n2)(n2-7)=n⁴-49

դ) (bc-3b)(bc+3b)=b²c²-9b²

ե) (3y-8z)(3y+8z)=9y²-64z²

զ) (m3+11n5)(11n5-m3)=121n¹⁰-m⁶

2) Հաշվեք՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

ա) 71*69=(70-1)(70+1)=4899;   բ) 698*702=(700-2)(700+2)=489 996

3) Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների

ա) m2-n2=(m-n)(m+n)

բ) x2-16=(x-4)(x+4)

գ) (3y)2-1=(3y-1)(3y+1)

դ) n4-64=(n²-8)(n²+8)

ե) 9-(2m)2=(3-2m)(3+2m)

զ) a8-25c2=(a⁴-5c)(a⁴-5c)

4. Խորանարդների գումարը և տարբերությունը

4. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
5. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a2-ab+b2 բազմանդամն անվանում են a-ի և b-ի տարբերության թերի քառակուսի, իսկ a2+ab+b2բազմանդամը՝ գումարի թերի քառակուսի:

Առաջադրանքներ

1) Արտահայտությունը ներկայացրեք 3 ցուցիչով աստիճանի տեսքով.

ա) 125=53(oրինակ)

բ) 64=8²

գ) 27=3³

դ) 8y9=(2y)³

ե) x6y36=(xy⁶)⁶

զ) 1/8c³=(1/2c)³

2) Արտահայտությունը ներկայացրեք խորանարդների գումարի կամ տարբերության տեսքով`

ա) x3+8=(x+2)(x²-2x+4)

բ)64-a3=(4-a)(16+4+a²)

գ) 1+m12=(1+m4)(1+m4+m8)

դ) a9-27b3=(a3-3b)(a6+3a3b+9b)

ե) 27p6+q15=(3p²+q⁵)(9p⁴-3p²q⁵+q¹⁰)

զ) x18-8y21=(x6-2y7)(x12+2x6y7+4y¹⁴)

ա) m3-n3=(m-n)(m²+mn+n²)

բ) p6-q6=(p²-q²)(p⁴+p²q²+q⁴)

գ) b3+8=(b+2)(b²-2b+4)

դ) c6-125d3=(c²-5d)(c⁴+5dc²+25d²)

ե) 8p6+8=(2p²+2)(4p⁴-4p²+4)

զ) 64y3-1=(4y-1)(16y²+4y+1)

5. Գումարի և տարբերության խորանարդը

      (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

     (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Առաջադրանքներ

1) Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով.

ա) (a+b)3=a³+3a²b+3ab²+b³

բ) (a-4)3=a³-12a²+48a-64

գ) (3a+1)3=27a³+27a²+9a+1

դ)(2a-3b)3=8a³-36a²b+54ab²-27b³

ե) (x-3z)3=x³-9x²z+27xz²-27z³

զ) (2b+5)3=8b³+60b²+150b+125

6. Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառությունը

Տեսական նյութ

1. (a+b)2=a2+2ab+b2

2. (a-b)2=a2-2ab+b2

3. a2-b2=(a-b)(a+b)

4. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

5. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

6. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

7. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

բանաձևերն անվանում են կրճատ բազմապատկման բանաձևեր: Այս բոլոր հավասարությունները նույնություններ են: Նրանք մնում են ճիշտ, եթե նրանցում a-ի և b-ի փոխարեն տեղադրենք ամբողջ արտահայտություններ: Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը հաճախ կիրառում են արտահայտությունների պարզեցման համար:

Առաջադրանքներ

1) Պարզեցրեք արտահայտությունը.

ա) (a+1)2-2(a+1)+1=a²

բ) (m-n)2+2n(m-n)+n2=m²+2n²+n²

գ) (p-q)2-2(p2-q2)+(p+q)2=4q²

դ) (x+2y)2+2(x2-4y2)+(2y-x)2=4x²

2) Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի 

ա)(1+x)(1-x)(1+x²)=(1-x²)(1+x²)=1-x⁴

բ) (n+m)(n-m)(m²+n²)=m⁴-n⁴

գ) 4(1-a)²+3(a+1)²=4-8a+4a²+3a²+6a+3=7-2a+7a²

դ) 2(1-5x)²-2(5x+1)(1-5x)=2-20x+50x²-2+50x²=100x²-20x

3) Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում և 3 աշակերտ պակաս՝ քան երրորդում: Քանի աշակերտ կա երրորդ դասարանում:

4) Զբոսաշրջիկը 3ժ գնացել է ոտքով և 4ժ՝ հեծանվով: Նա ընդամենը անցել է 55կմ: Նա ոտքով ի՞նչ արագությամբ էր գնում, եթե հեծանվով գնում էր 5կմ/ժ-ով արագ, քան ոտքով:
4(x+5)+3x=55
4x+20+3x=55
7x=35
x=5

5) Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի.

ա) (x+2)(4-x2)(x-2)=8x²-x⁴-16

բ) (p+q)2-(p-q)2=4pq

գ) (a-b)(a-b)(a+b)(a+b)=2a²-2a²b²+2b²

դ)  3-(5-x)2+(x-5)(5+x)=-48+10x

6) Պարզեցրեք արտահայտությունը.

ա) (2a-1)3+(2a+1)(a-1)=8a³-10a²+4a

բ)(3x-4y)(3x+4y)-(3x+1)(3x-1)=1-16y²

գ) (1-a)3-(a-2)3=9-15a+9a²-2a³

դ) (5x+4y)(1-y)+12:=5x-5xy+4y-4y²+12

7) Արտադրամասի տեխնիկական վերազինումը հնարավորություն տվեց 150-ի փոխարեն մեկ օրում թողարկել 180 հաստոց: Քանի՞ տոկոսով բարձրացավ մեկ օրում թողարկվող հաստոցների թիվը:
180-150=30
30*100:150=20

8)*  Պարզեցնել a + (b – (c + (-d))) արտահայտությունը:
=a+b-c+d