Շրջանագիծ: Ինքնաստուգում

1.Տեսական հարցեր
ա. Սահմանի՛ր շրջանագիծ, շրջանագծի շառավիղ, տրամագիծ, լար, աղեղ:


բ. Շրջանագիծը և ուղիղը իրար նկատմամբ ինչպիսի՞ դասավորություններ ունեն: Անվանի՛ր դրանք:
գ. Ի՞նչ է շոշափողը: Ինչպիսի՞ հատկություններ այն ունի:
դ. Քանի՞ աստիճան է շոշափողի և շառավղի կազմած անկյունը:90
ե. Կառուցի՛ր O կենտրոնով շրջանագիծ: Նրա վրա չգտնվող A կետից տա՛ր երկու շոշափող: Միացրո՛ւ A կետը O կենտրոնի հետ: Ի՞նչ հատկություններ կարող ես նշել ստացված պատկերի շուրջ:
զ. Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը ինչպիսի՞ անկյուն է կազմում այդ լարի հետ:90

2.ա. Շրջանագծի շառավիղը 5սմ է: Հաշվի՛ր տրամագիծը:10
բ. Շրջանագծի տրամագիծը 17 է: Հաշվի՛ր շառավիղը:8.5

3.Շրջանագիծը շոշափում է 120o -ի անկյան կողմերը և նրա կենտրոնի հեռավորությունն անկյան գագաթից 12սմ է: Գտի՛ր շոշափողը:6

4.R շառավղով շրջանագծի OA շառավղի վրա M կետն ընտրված է այնպես, որ OM:MA=2:3: Գտի՛ր M կետով անցնող և OA-ին ուղղահայաց լարի երկարությունը:

5.Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը երկու անգամ մեծ է փոքր հիմքից: Սեղանի անկյունագիծը սուր անկյունը բաժանում է երկու հավասար մասերի: Գտի՛ր սեղանի փոքր հիմքը, եթե նրա պարագիծը 60 սմ է:10

 Շրջանագծի աղեղի աստիճանային չափը

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) O կենտրոնով շրջանագծի շառավիղը 16սմ է: Գտեք AB լարը, եթե`

ա) <AOB=600
Ստացվում է հավասարասրուն եռանկլյունի,որի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են
AB=16 սմ

բ) <AOB=1800
Դա միայն կարող է լինել տրամագծի դեպքում, այսինքն
16*2=32 սմ

Լրացուցիչ (տանը)

2) O կենտրոնով շրջանագծի AB և CD լարերը հավասար են: 

ա) Ապացուցեք, որ A և B ծայրերով երկու աղեղները համապատասխանաբար հավասար են C և D ծայրերով երկու աղեղների:
եթե AB=CD => ԱՂԵՂ AB և CD

բ) Գտեք C և D ծայրերով երկու աղեղները, եթե <AOB=1120:

3) AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ AC=570, BD=630: Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 12սմ է:
180-57-63=60
180-60=120
120:2=60
CD=12 sm

 Շրջանագծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Դիցուք՝ d-ն r շառավղով շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն է p ուղղից: Ինչպե՞ս են միմյանց նկատմամբ դասավորված շրջանագիծը և p ուղիղը, եթե՝

ա) r=16սմ, d=12սմ, r>d հատող ուղիղ

բ) r=5սմ, d=4,2 սմ, r>d հատող ուղիղ

գ) r=7,2 սմ, d=3,7դմ, r<d ընդ. կետ չունեն

դ) r=8սմ,d=1,2դմ, r<d ընդ. կետ չունեն

ե) r=5սմ, d=50մմ r=d ունեն ընդ. կետ

Լրացուցիչ(տանը)

2) A կետի և շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավիղից: Ապացուցեք, որ A կետով անցնող յուրաքնաչյուր ուղիղ այդ շրջանագծի հատող է:
Եթե A կետի և շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը մեծ լիներ շառավղից,ապա դուրս կգար շրջանագծից, իսկ փոքրի դեպքում դրանով անցնող ուղիղը հատում է շրջանագիծը:

3) ABC եռանկյան մեջ AB=10սմ, <C=900<B=300: Պահանջվում է տանել A կենտրոնով շրջանագիծ: Ինչպիսին պետք է լինի այդ շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BC ուղիղը՝

ա) շոշափի շրջանագիծը,

բ) շրջանագծի հետ չունենա ընդհանուր կետ,

գ) շրջանագծի հետ ունենա ընդհանուր կետեր:

Հավելյալ խնդիրներ

4) AB հատվածի երկարությունը հավասար է 37 սմ-ի: C և D կետերը գտնվում են այդ հատվածի վրա, ընդ որում D կետը գտնվում է C և B կետերի միջև: Գտեք CD հատվածի երկարությունը, եթե AD = 27 սմ, BC = 19 սմ:
27-19=6

5) Ուղղանկյան կողմերից մեկը 16 սմ է, իսկ մյուսը 3 անգամ մեծ է: Գտեք ուղղանկյան պարագիծը:
(16+16*3)*2=128
P=128 sm

6) B կետը գտնվում է A և C կետերի միջև, իսկ D կետը` A և B կետերի միջև: Գտեք DC հատվածի երկարությունը, եթե DA հատվածի երկարությունը հավասար է 45 սմ-ի, AB հատվածի երկարությունը 3սմ-ով մեծ է DA հատվածի երկարությունից, իսկ BC հատվածի երկարությունը 17 սմ-ով փոքր է AB հատվածի երկարությունից:
45+3=48
48-17=31
31+48=79sm

7)  M և N կետերն ընկած են AB հատվածի վրա, ընդ որում N կետը զետեղված է M և B կետերի միջև: Գտեք AB հատվածի երկարությունը, եթե AN = 42 սմ, MB = 24 սմ, MN = 8 սմ:
24-8=16
42+16=58sm

Սեղան

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1) Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե <A=360, <C=1170:
<c=117
<D=180-117=53
<B=180-36=144

2) Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 600: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը:2մ

3) Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 400 է:
(180-40):2=70
70+40=110

Լրացուցիչ (տանը)

4) Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

5) Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, իսկ միջին գիծը 10սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:
(2x+3x):2=10
x=4
2*4=8
3*4=12

6) M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղի մի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 22սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից:

7) Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայցն այդ հիմքը տրոհում է 6սմ և 30սմ երկարությամբ հատվածների: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և միջին գիծը:

Թալեսի թեորեմը

1) ABC եռանկյան AB և AC կողմերի վրա համապատասխանաբար նշված են M և N կետերն այնպես, որ MN || BC: Գտնել

ա) AN:AC և AN:NC, եթե AM:AB=3:7;
AN:AC=3:7
AN:NC=3:4

բ) NC-ն, եթե AM=3սմ, AB=9սմ և AN=2սմ;

գ) AN, եթե AM:AB=2:3 և AC=15սմ;

դ) AN, եթե AM=2սմ, NC=8սմ և AN=MB: 

Լրացուցիչ (տանը)

2) Գրի՛ր տեղեկություններ Թալեսի և Թալեսի թեորեմի մասին:

Թեորեմը կրում է հին հույն փիլիսոփա և բնագետ Թալես Միլեթացու անունը:

Եթե երկու ուղիղներից մեկի վրա հաջորդաբար տեղադրվեն մի քանի հավասար հատվածներ և նրանց ծայրակետերով տարվեն երկրորդ ուղիղը հատող զուգահեռ ուղիղներ, ապա դրանք երկրորդ ուղղի վրա անջատում են միմյանց հավասար հատվածներ։

Կամ՝

Եթե անկյան կողմերը հատող զուգահեռ ուղիղները անկյան մի կողմի վրա անջատում են հավասար հատվածներ, ապա նրանք անկյան մյուս կողմի վրա ևս անջատում են հավասար հատվածներ:

3) ΔABC եռանկյան AB, BC և AC կողմերի վրա համապատասխանաբար վերցված L, M և N կետերն այնպես, որ LM || AC, MN || AB: Գտնել ALMN զուգահեռագծի կողմերը, եթե նրա պարագիծը18սմ, AC = 8սմ, АВ = 12սմ:

Եռանկյան միջին գիծը

Տեսական նյութ

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ:

Թեորեմ Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար այդ կողմի կեսին:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք:

2.png

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1) Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծեր են:
4+5+3=12
2) Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են 12մ և 16մ: Գտեք այն քառանկյան կողմերը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:
12:2=6
16:2=8

3) Նկարում EF||AC: Գտնել PBEF և PABC:

PABC=8+10+10=28
PEBF=14

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

4) Նկարում MN || AC: Գտնել PMBN և PABC:

PMBN=4+3+3.5=10.5
PABC=8+6+7=21

5) Քառանկյան անկյունագծերը հավասար են m-ի և n-ի: Գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:
m:2=m/2
n:2=n/2

6) Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են:

7)* Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթները հավասարահեռ են նրա որևէ միջին գիծն ընդգրկող ուղղից:

Զուգահեռագիծ

Առաջադրանքներ

1) Զուգահեռագծի պարագիծը 48 սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե՝

ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ-ով,
x+x+3+x+x+3=48
4x=42
x=10.5
10.5+3=13.5

բ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:
x+2x+x+2x=48
6x=48
x=8
2*8=16

2) Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 40 է, գտեք մյուս անկյունները:
360-40*2=280
280:2=140

3) Զուգահեռագծի անկյունագիծը երկու կից կողմերի հետ կազմում է համապատասխանաբար 25-իև 35-ի անկյուններ: Գտեք զուգահեռագծի անկյունները:
25+35=60
360-60*2=240
240:2=120

4) Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100 է:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (Տանը)

5) ABCD զուգահեռագծի պարագիծը 50 սմ է, <C=30, իսկ CD ուղղին տարված BH ուղղահայացը 6,5 սմ: Գտեք զուգահեռագծիկողմերը:

6) Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե՝

ա) <A=840
360-2*84=192
192:2=96

բ) <A-<B=550,
x+x+55+x+x+55=360
4x=250
x=62.5
62.5+55=117.5

գ) <A+<C=1420
142:2=71
360-142=218
218:2=109
դ) <A=2<B:
x+2x+x+2x=360
x-60
60*2=120

7) ABCD զուգահեռագծի A անկյան կիսորդը K կետում հատում է BC կողմը: Գտեք այդ զուգահեռագծի պարագիծը, եթե BK=15 սմ, KC=9սմ:
15+9=24
15*2+24*2=74
P=74 sm

8) MNPQ զուգահեռագծի մեջ տարված է MQ ուղղին ուղղահայաց՝ NH-ը, ընդ որում՝ H կետը գտնվում է MQ կողմի վրա: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը և անկյունները, եթե հայտնի է, որ MH=3 սմ, HQ=5սմ, <MNH=300:

9) Ապացուցեք զուգահեռագծի հատկությունները:

 Քառանկյուն

Առաջադրանքներ

1) Գծել ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ:

2) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյունը դրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 400-ով:
3x+x-40=360
4x=400
x=100
100-40=60

3) Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 8 սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 3 մմ-ով, 4 մմ-ով և 5 մմ-ով:
x+3+x+4+x+5+x=80
4x=68
x=17
17+3=20
17+4=21
17+5=22

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

4) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանցից մեկը մյուսից մեծ է համապատասխանաբար 100-ով, 200-ով և 300-ով:
x+10+x+20+x+30+x=360
4x=300
x=3540:4
x=75
75+10=85
75+20=95
75+30=105

5) Գրեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 1, 2, 4, 5 թվերին:
x+2x+4x+5x=360
x=360/12
x=30
30, 60, 120, 150

6) Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 66սմ է, առաջին կողմը երկրորդից մեծ է 8 սմ-ով և նույնքանով փոքր է երրորդ կողմից, իսկ չորրորդը երեք անգամ մեծ է երկրորդից:
x+8+

7) Ապացուցեք, որ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 3600: