1. Գումարի և տարբերության քառակուսին
1. (a+b)2=a2+2ab+b2 կամ a2+2ab+b2=(a+b)2
2. (a-b)2=a2-2ab+b2 կամ a2-2ab+b2=(a-b)2
Առաջադրանքներ
1) Բարձրացրեք քառակուսի.
1. (m+x)2=m2+2mx+x2
2. (4-y)2=16-8y+y2
3. (2x+7)2=4x2+28x+49
4. (z3 +t)2=z6+2z3t+t2
5. (4x-9y)2=16x2-72xy+81y2
6. (a7-3b4)2=a14-6a7b4+9b8
2) Հաշվեք՝ կիրառելով գումարի քառակուսու բանաձևը.
Oրինակ՝
512=(50+1)2=502+2501+12=2601:
ա) 512 =2601 գ) 392=(30+9)2=900+540+81=1521
բ) 1082=(100+8)2=10000+1600+64=11664 դ) 722=(70+2)2=4900+280+4=5184
Լրացուցիչ առաջադրանք
3) Բարձրացրեք քառակուսի.
1. (a3+b2)2=a6+2a3b2+b4
2. (b+ab3)2=b2+2ab3+a2b6
3. (y+12)2=y2+24y+144
4. (x5-y8)2=x10-2x5y8+y16
5. (0,1a+4b)2=0.01a2+8.1ab+16y2
6. (a2b-9)2=a4b2-18a2b+81
7. (17k+5p)2=289k2+170kp+25p2
8. (b4x-b)2=b8x2-2b5x+b2
2. Քառակուսիների տարբերությունը
3. a2-b2=(a-b)(a+b)կամ (a-b)(a+b)=a2-b2
Բանաձևը հաճախ օգտագործում են հաշվարկների պարզեցման համար
4139=(40+1)(40-1)=402–12=1600-1=1599:
Առաջադրանքներ
1) Արտահայտությունը ներկայացրեք բազմանդամի տեսքով.
ա) (a+n)(a-n)=a2-n2
բ) (12-x)(x+12)=144-x2
գ) (7+n2)(n2-7)=n4-49
դ) (bc-3b)(bc+3b)=b2c2-9b2
ե) (3y-8z)(3y+8z)=9y2-64z2
զ) (m3+11n5)(11n5-m3)=121n10-m6
2) Հաշվեք՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.
ա) 71*69=(70-1)(70+1)=4899; բ) 698*702=(700-2)(700+2)=489 996
3) Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների
ա) m2-n2=(m-n)(m+n)
բ) x2-16=(x-4)(x+4)
գ) (3y)2-1=(3y-1)(3y+1)
դ) n4-64=(n2-8)(n2+8)
ե) 9-(2m)2=(3-2m)(3+2m)
զ) a8-25c2=(a4-5c)(a4-5c)
4. Խորանարդների գումարը և տարբերությունը
4. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
5. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a2-ab+b2 բազմանդամն անվանում են a-ի և b-ի տարբերության թերի քառակուսի, իսկ a2+ab+b2բազմանդամը՝ գումարի թերի քառակուսի:
Առաջադրանքներ
1) Արտահայտությունը ներկայացրեք 3 ցուցիչով աստիճանի տեսքով.
ա) 125=53(oրինակ)
բ) 64=82
գ) 27=33
դ) 8y9=(2y)3
ե) x6y36=(xy6)6
զ) 1/8c3=(1/2c)3
2) Արտահայտությունը ներկայացրեք խորանարդների գումարի կամ տարբերության տեսքով`
ա) x3+8=(x+2)(x2-2x+4)
բ)64-a3=(4-a)(16+4+a2)
գ) 1+m12=(1+m4)(1+m4+m8)
դ) a9-27b3=(a3-3b)(a6+3a3b+9b)
ե) 27p6+q15=(3p2+q5)(9p4-3p2q5+q10)
զ) x18-8y21=(x6-2y7)(x12+2x6y7+4y14)
ա) m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2)
բ) p6-q6=(p2-q2)(p4+p2q2+q4)
գ) b3+8=(b+2)(b2-2b+4)
դ) c6-125d3=(c2-5d)(c4+5dc2+25d2)
ե) 8p6+8=(2p2+2)(4p4-4p2+4)
զ) 64y3-1=(4y-1)(16y2+4y+1)
5. Գումարի և տարբերության խորանարդը
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Առաջադրանքներ
1) Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով.
ա) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
բ) (a-4)3=a3-12a2+48a-64
գ) (3a+1)3=27a3+27a2+9a+1
դ)(2a-3b)3=8a3-36a2b+54ab2-27b3
ե) (x-3z)3=x3-9x2z+27xz2-27z3
զ) (2b+5)3=8b3+60b2+150b+125
6. Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառությունը
Տեսական նյութ
1. (a+b)2=a2+2ab+b2
2. (a-b)2=a2-2ab+b2
3. a2-b2=(a-b)(a+b)
4. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
5. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
6. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
7. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
բանաձևերն անվանում են կրճատ բազմապատկման բանաձևեր: Այս բոլոր հավասարությունները նույնություններ են: Նրանք մնում են ճիշտ, եթե նրանցում a-ի և b-ի փոխարեն տեղադրենք ամբողջ արտահայտություններ: Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը հաճախ կիրառում են արտահայտությունների պարզեցման համար:
Առաջադրանքներ
1) Պարզեցրեք արտահայտությունը.
ա) (a+1)2-2(a+1)+1=a2
բ) (m-n)2+2n(m-n)+n2=m2+2n2+n2
գ) (p-q)2-2(p2-q2)+(p+q)2=4q2
դ) (x+2y)2+2(x2-4y2)+(2y-x)2=4x²
2) Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի
ա)(1+x)(1-x)(1+x²)=(1-x²)(1+x²)=1-x4
բ) (n+m)(n-m)(m²+n²)=m4-n4
գ) 4(1-a)²+3(a+1)²=4-8a+4a²+3a²+6a+3=7-2a+7a²
դ) 2(1-5x)²-2(5x+1)(1-5x)=2-20x+50x²-2+50x²=100x²-20x
3) Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում և 3 աշակերտ պակաս՝ քան երրորդում: Քանի աշակերտ կա երրորդ դասարանում:
4) Զբոսաշրջիկը 3ժ գնացել է ոտքով և 4ժ՝ հեծանվով: Նա ընդամենը անցել է 55կմ: Նա ոտքով ի՞նչ արագությամբ էր գնում, եթե հեծանվով գնում էր 5կմ/ժ-ով արագ, քան ոտքով:
4(x+5)+3x=55
4x+20+3x=55
7x=35
x=5
5) Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի.
ա) (x+2)(4-x2)(x-2)=8x2-x4-16
բ) (p+q)2-(p-q)2=4pq
գ) (a-b)(a-b)(a+b)(a+b)=2a2-2a2b2+2b2
դ) 3-(5-x)2+(x-5)(5+x)=-48+10x
6) Պարզեցրեք արտահայտությունը.
ա) (2a-1)3+(2a+1)(a-1)=8a3-10a2+4a
բ)(3x-4y)(3x+4y)-(3x+1)(3x-1)=1-16y2
գ) (1-a)3-(a-2)3=9-15a+9a2-2a3
դ) (5x+4y)(1-y)+12:=5x-5xy+4y-4y2+12
7) Արտադրամասի տեխնիկական վերազինումը հնարավորություն տվեց 150-ի փոխարեն մեկ օրում թողարկել 180 հաստոց: Քանի՞ տոկոսով բարձրացավ մեկ օրում թողարկվող հաստոցների թիվը:
180-150=30
30*100:150=20
8)* Պարզեցնել a + (b – (c + (-d))) արտահայտությունը:
=a+b-c+d
Մկրտիչ Համբարձումյան 